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奇妙的中国剩余定理--三人同行七十稀

  发表日期:2010年6月27日          【编辑录入:admin

三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,七子团圆正半月,除百零五便得知。

《射雕英雄传》里就有。瑛姑算是个神算了吧,而黄老邪琴棋书画诗词歌赋无所不通,他的女儿不那么聪明就有点说不过去了,两人之间的较量实在是吸引人,看书的时候还小,也没怎么琢磨,现在回想起来,竟全是数学,或者说算术更贴切。
瑛姑的屋子建在密林中一个污泥湖沼之上,按五行奇门之术设了机关,在黄蓉看来,这些都是“入门级”的小摆设,在她的指点下,郭靖“对着灯火直行三步,向左斜行四步,再直行三步,向右斜行四步”,落脚处果然打有一根根的木桩,如此直斜交差行走了一百一十九步,二人轻轻松松入了门,到了屋子前面。
郭靖、黄蓉进到屋子里时,瑛姑正忙着算数:黄蓉见地下那些竹片都是长约四寸,阔约二分,知是计数用的算子,再看那些算子排成商、实、法、借算四行,暗点算子数目,知她正在计算五万五千二百二十五的平方根,这时“商”位上已记算到二百三十,但见那老妇拨弄算子,正待算那第三位数字,黄蓉脱口道:“五!二百三十五!”那女子又计下一道算题。这次是求三千四百零一万二千二百三十四的立方根,她刚将算子排为商、实、方法、廉法、隅、下法六行,算到一个“三”,黄蓉轻轻道:“三百二十四。”瑛姑仍不死心,使出了杀手锏,试图用她“独创”的秘诀难住黄蓉,信息闭塞的瑛姑没想到这套东西有人比她创的更早更“独”:瑛姑道:“你的算法自然精我百倍,可是我问你,将一至九这九个数字排成三列,不论纵横斜角,每三字相加都是十五,如何排法?”黄蓉心低声诵道:“九宫之义,法以灵龟,二四为肩,六八为足,左三右七,戴九履一,五居中央。那九宫每宫又可化为一个八卦,八九七十二数,以从一至七十二之数,环绕九宫成圈,每圈八字,交界之处又有四圈,一共一十三圈,每圈数字相加,均为二百九十二。这洛书之图变化神妙如此,讶你也不知晓。”
  黄蓉所说的“九宫之义,法之灵龟,二四为肩,六八为足,左三右七,戴九履一,五居中央”,其实就是五行生克、九宫八卦的数学模型,也叫“九宫图”,具体图形如下所示,图中无论横、竖还是斜向排列的数字之和都是十五:
4 9 2
3 5 7
8 1 6
黄蓉也写了三道算题:第一道是包括日、月、水、火、木、金、土、罗、计都的“七曜九执天竺笔算”;第二道是“立方招兵支银给米题”(按:即西洋数学中的纵数论);第三道是道“鬼谷算题”:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何。瑛姑待她写出最后一项答数,叹道:“这中间果然机妙无穷。”顿了顿,说道:“这第三道题呢,说易是十分容易,说难却又难到了极处。‘今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?’我知道这是二十三,不过那是硬凑出来的,要列一个每数皆可通用的算式,却是想破了脑袋也想不出。”黄蓉笑道:“这容易得紧。以三三数之,余数乘以七十;五五数之,余数乘以二十一;七七数之,余数乘十五。三者相加,如不大于一百零五,即为答数,否则须减去一百零五或其倍数。”瑛姑在心中盘算了一遍,果然丝毫不错,低声记诵道:“三三数之,余数乘以七十;五五数之……”黄蓉道:“也不用这般硬记,我念一首诗给你听,那就容易记了:三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,七子团圆正半月,余百零五便得知。”
这毕竟是小说,然“韩信点兵”也是这般。汉高祖刘邦曾问大将信:“你看我能带多少兵?”韩信斜了刘邦一眼说:“你顶多能带十万兵吧!”汉高祖心中有三分不悦,心想:你竟敢小看我!“那你呢?”韩信傲气十足地说:“我呀,当然是多多益善啰!”刘邦心中又添了三分不高兴,勉强说:“将军如此大才,我很佩服。现在,我有一个小小的问题向将军请教,凭将军的大才,答起来一定不费吹灰之力的。”韩信满不在乎地说:“可以可以。”刘邦狡黠地一笑,传令叫来一小队士兵隔墙站队,刘邦发令:“每三人站成一排。”队站好后,小队长进来报告:“最后一排只有二人。”“刘邦又传令:“每五人站成一排。”小队长报告:“最后一排只有三人。”刘邦再传令:“每七人站成一排。”小队长报告:“最后一排只有二人。”刘邦转脸问韩信:“敢问将军,这队士兵有多少人?”韩信脱口而出:“二十三人。”刘邦大惊,心中的不快已增至十分,心想:“此人本事太大,我得想法找个岔子把他杀掉,免生后患。”一面则佯装笑脸夸了几句,并问:“你是怎样算的?”韩信说:“臣幼得黄石公传授《孙子算经》,这孙子乃鬼谷子的弟子,算经中载有此题之算法,口诀就是上面四句诗。

这个算法在我国有许多名称,如“韩信点兵”,“鬼谷算”,“隔墙算”,“剪管术”,“神奇妙算”等等,题目与解法都载于我国古代重要的数学著作《孙子算经》中。可用现代语言这样表述: “一个正整数,被3除时余2,被5除时余3,被7除时余2,如果这数不超过100,求这个数。” 一般认为这是三国或晋时的著作,比刘邦生活的年代要晚近五百年,算法口诀诗则载于明朝程大位的《算法统宗》,诗中数字隐含的口诀前面已经解释了。宋朝的数学家秦九韶把这个问题推广,并把解法称之为“大衍求一术”,这个解法传到西方后,被称为“孙子定理”或“中国剩余定理”。

《孙子算经》中,是这样的:“今有物不知其数:三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何.”这个问题一般称孙子问题.这个问题可译成:求被3除余2,被5除余3,被7除余2的最小正整数.《孙子算经》中记载了这个问题的解法,有人将其解法编成歌诀:“三人同行七十稀,五树梅花廿一支,七子团圆正半月,除百零五便得知.”它的意思是用3除的剩余数乘70,用5除的剩余数乘21,用7除的剩余数乘15,将所得的结果相加再减去105的倍数,即可得所求数.算式是2×70+3×21+2×15=233,233-105×2=23,所以,最小的正整数解是23.这种解法,实际上是特殊的一次同余式组的求解定理.1801年,德国数学家高斯在《算术探究》中明确提出一次同余式组的求解定理.西方数学著作中将一次同余式的求解定理称为中国剩余定理


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